Аксиомалар жүйесі

Бұл лекцияда бұл аксиомалар жүйесін зерттеуге келеді. Тұтастай аксиомалық тұжырымдамасын зерттеулер математикалық тұжырымдамасы математикалық логика ілімдер мен әдістерін зерттеу қатысты мета-теориясы деп аталады, хрестоматиялық доктринасы көзделген сапасын белгілейді бірі болып табылады жол осы ғылым жетекші болып саналады. оған белгілеген прецедент салыстырмалы ғана теориясы, оларды ажырата үшін Metatheorem деп аталатын аксиоматической доктринасы ілімді қарастырады оқыды. аксиома оның жүйесінің қасиеттерін тәуелсіздік оның консистенциясы, кепілдігімен, толықтығы, бар аксиоматической доктринасы көзделген модельдерге байланысты мәселелер, — ол жауап мета-теориясы зерттеу аксиоматической доктринасы қамтамасыз ету қажет, ол үшін маңызды сұрақтар болып табылады. Бұл көзқарастар көп ұзамай Қалыптастырылған есептеу өрнектерді салу, және Қалыптастырылған предикатов есептеу тіпті құрылысына дейін ұсынылды. Енді біз олардың кездейсоқ аксиоматикалық доктринаға сілтеме жасай отырып, оларды тереңірек қарастырамыз.

Аксиоматикалық доктриналардың сәйкестігі Бұл аксиоматикалық доктриналардың маңызды сипаты және оларға маңызды талабы, өйткені төменде көретініміздей, қайшылықты доктриналардың іс жүзінде маңызы жоқ. Анықтау 27.1. Аксиоматикалық ілім дәйекті деп аталады A , осы доктринаның анықтамаларында тұжырымдалған, А-ның сөзі A және оның терістеуі ¬А осы доктринаның аксиомалары болудың барлық мүмкіндіктері болмайды. Егер қандай да бір өтініш үшін А A доктринаның екі мәлімдемесі де бар A және ¬A ¬А оның аксиомалары саналады, онда аксиоматикалық доктрина қайшылықты деп аталады. аксиоматической доктринасы қайшы болса логикалық жүйеде пайдаланылған, ол содан кейін осы доктринаға әрбір ұсыныс, оның аксиома болып саналады, есептеу өрнектер O ережесін [I] Модус ponens (MP) байланыстырады бұл іс жүзінде көрсетеді. [/ I] Растау. Шын мәнінде, қайшы доктринаның ескере отырып, ұсыныс А бар A Доктрина, бұл шын мәнінде, бұл А A және ¬A ¬А Оның аксиомалары. Доктринада берілген өрнектердің дұрыс реттілігіне қарап көрейік:

Аксиоматикалық доктрина төмендегілерге негізделеді: бірнеше негізгі нысандар енгізіледі (планиметрияда баста, жазық, жазықтық, «тиесілі», «арасындағы» және қозғалыс). Бұл нысандар анықтамалар алмайды, бірақ жоғарыда аталғандардың бәріне қарамастан осы объектілердің қасиеттерін түсіндіретін бірқатар аксиомалар постулирленеді. Аксиоматикалық доктрина нақты сөйлеспейді, нүкте, түзу сызық және ұшақ бар. Осының салдарынан екі нұсқасы болуы ықтимал: екі кері мәлімдеме аксиома жүйесінен алынады. Бұл жүйе қайшылықты деп аталады — бұл шын мәнінде ешқандай нүктелер, сызықтар мен ұшақтар жоқ екенін білдіреді және бұл да планиметрия жоқ екенін білдіреді. Кейбір математикалық жүйе (мысалы, арифметика негізінде) құрылады, оның шеңберінде «нүкте», «тікелей сызықтар» және «ұшақтар» тағайындалады. Бұл жоспарлы модельге айналады. Модельдің құрылысы, шын мәнінде, аксиома жүйесі нашар емес екенін растайды.

Демек, қайшылықты және дәйекті аксиоматикалық доктриналардың анықтамалары болашақта да солай жасауға болады. Аксиоматикалық ілім қайшылықты деп аталады, егер осы доктринаның анықтамаларында тұжырымдалған әрбір мәлімдеме оның аксиомасы деп саналса және оның аксиомасы болмаса, онда дәйекті деп аталады. Яғни, қайшылықты доктринаның ешқандай мағынасы болмайды дегенді білдіреді, себебі ол нәрсені ақтауға болады.

Осыған байланысты ол аксиомалық доктринаға сәйкестікті орнату мәселесінің маңыздылығын сатып алады. Шындығында, бұл проблеманың екі жағы бар: анықталған аксиомалар жүйесіндегі қарама-қайшылықтардың болмауы (бұл теорияның дамуында көрінетін болады) және дәлелдемелерді жасау үшін пайдаланатын логикалық тұжырымдардың ақиқаты. Осылайша, бірізділікті немесе басқа аксиоматикалық доктринаны енгізуді қалау үшін оны математикалық мазмұндық мазмұны (яғни, оның негізінде жатыр аксиома жүйесі) ретінде қарастыруға міндеттіміз, мысалы, логика. Екінші сәтте біз болашақта қайтып келеміз және қазіргі кезде аксиомалық доктринаға негізделген аксиома жүйесіндегі жүйелілік туралы мәселедегі қайшылықтың қолайсыздығына қатысты мәселе қалай шешілетінін қарастырамыз.

Көптеген жағдайларда бұл мәселені модельдің пікірін қолдау арқылы шешуге болады. Аксиомалардың қандай немесе басқа жүйесіндегі аксиоматикалық тұжырымдаманы дамыту Σ , біз оның негізгі ой-пікірлерін және олардың арасындағы мәселелерді олардан тысқары емес, шын мәнінде, аксиомаларда айтылған нәрсені емес, олар тек қана логикалық тұжырымдар әдісімен доктринаны құру үшін қажетті осы пікірлер туралы барлық ақпаратты қамтиды. Енді біздің көзқарасымызды бастапқы көзқарастарымызда өзгерте алайық: біз олардың арифметикалық (басқа аксиоматикалық теория) доменінен нақты нақты объектілер мен пропорцияларды қабылдай бастаймыз, біз қазірдің өзінде негізделген және негізделген (дәйекті) деп санаймыз. Бұл соңғы абзацтарда айтылғандай, қандай да бір нақты объектілер мен олардың арасындағы белгілі бір қатынастар арқылы қандай да бір контентпен қандай да бір бастапқы пікірді және олардың арасындағы қарым-қатынастарды беріп, берілген аксиомаларды Σ Σ . Белгілі объектілер туралы деректер жинағы және олардың арасындағы қарым-қатынастар аксиомалардың берілген жүйесін түсіндіру деп аталады. Соңында, кез келген TRUE кез келген 2 Σ түсіндіру үшін пайдаланылатын арифметиканың (негізделген аксиоматикалық теория) негізделген доменінен мүлдем нақты сөйлемге айналды. Осы қызметтердің кез-келгені, мысалы, нақты (теорема) болуға мүмкіндік береді және түсіндіру үшін пайдаланылатын дәйекті аксиоматикалық доктринада дұрыс емес. Егер 2-те барлық теоремалар болса Σ шынайы мәлімдемелерге айналады, содан кейін салынған интерпретация аксиома жүйесінің ұсынылған үлгісі деп аталады Σ . (Егер, алайда, 1 TRUTH дұрыс емес мәлімдеменге айналса, онда түсіндірудің жұмыс істемей тұрғандығын қарастыруға болады: өйткені түсіндірудің міндеті аксиома жүйесінің үлгісін жасау болып табылады!)

Добавить комментарий

Your email address will not be published.